EVOLUCIÓN DEL CÁLCULO
En
general el término cálculo (del latín calculus =
piedra) hace referencia, indistintamente, a la acción o el resultado
correspondiente a la acción de calcular. Calcular, por su parte, consiste en
realizar las operaciones necesarias para prever el resultado de una acción
previamente concebida, o conocer las consecuencias que se pueden derivar de
unos datos previamente conocidos.
No
obstante, el uso más común del término cálculo es el lógico-matemático. Desde
esta perspectiva, el cálculo consiste en un procedimiento mecánico, o algoritmo, mediante el
cual podemos conocer las consecuencias que se derivan de unos datos previamente
conocidos.
Los
antecedentes de procedimiento de cálculo, como algoritmo, se encuentran en los
que utilizaron los geómetras griegos, Eudoxo en particular,
en el sentido de llegar por aproximación de restos cada vez más pequeños, a una
medida de figuras curvas; así como Diofanto precursor
del álgebra.
La consideración del cálculo como una forma de razonamiento abstracto aplicado en todos los ámbitos del conocimiento se debe a Aristóteles, quien en sus escritos lógicos fue el primero enformalizar y simbolizar los tipos de razonamientos categóricos (silogismos). Este trabajo sería completado más tarde por los estoicos, los megáricos, la Escolástica.
El algoritmo actual de cálculo aritmético como universal es fruto de un largo proceso histórico a partir de las aportaciones de Muhammad ibn al-Juarismi en el siglo IX.
Se introdujo el 0, ya de antiguo conocido en la India y se construye definitivamente el sistema decimal de diez cifras con valor posicional de las mismas, introducido en Europa por los árabes. La escritura antigua de números en Babilonia, en Egipto, en Grecia o en Roma, hacía muy difícil un procedimiento mecánico de cálculo.
El sistema decimal fue muy importante para el desarrollo de la contabilidad de los comerciantes de la Baja Edad Media, en los inicios del capitalismo.
El concepto de función por tablas ya era practicado de antiguo pero adquirió especial importancia en la Universidad de Oxford en el siglo XIV. La idea de un lenguaje o algoritmo capaz de determinar todas las verdades, incluidas las de la fe, aparecen en el intento de Raimundo Lulio en su Ars Magna
A fin de lograr una operatividad mecánica se confeccionaban unas tablas a partir de las cuales se podía generar un algoritmo prácticamente mecánico. Este sistema de tablas ha perdurado en algunas operaciones durante siglos, como las tablas de logaritmos, o las funciones trigonométricas; las tablas venían a ser como la calculadora de hoy día; un instrumento imprescindible de cálculo. Las amortizaciones de los créditos en los bancos, por ejemplo, se calculaban a partir de tablas elementales hasta que se produjo la aplicación de la informática en el tercer tercio del siglo XX.
A finales de la Edad Media la discusión entre los partidarios del ábaco y los partidarios del algoritmo se decantó claramente por estos últimos. De especial importancia es la creación del sistema contable por partida doble inventado por Luca Pacioli fundamental para el progreso del capitalismo en el Renacimiento.
Renacimiento
El sistema que usamos actualmente fue introducido por Luca Pacioli en 1494, y fue creado y desarrollado para responder a la necesidad de la contabilidad en los negocios de la burguesía renacentista.
El desarrollo del álgebra (con la introducción de un sistema de símbolos por un lado, y la resolución de problemas por medio de las ecuaciones) vino de la mano de los grandes matemáticos renacentistas como Tartaglia, Stévin, Cardano o Vieta y fue esencial para el planteamiento y solución de los más diversos problemas que surgieron en la época como consecuencia de los grandes descubrimientos que hicieron posible el progreso científico que surgirá en el siglo XVII.
Siglos XVII y XVIII
En el siglo XVII el cálculo conoció un enorme desarrollo siendo los autores más destacados Descartes, Pascal y, finalmente, Leibniz y Newton con el cálculo infinitesimal que en muchas ocasiones ha recibido simplemente, por absorción, el nombre de cálculo.
La consideración del cálculo como una forma de razonamiento abstracto aplicado en todos los ámbitos del conocimiento se debe a Aristóteles, quien en sus escritos lógicos fue el primero enformalizar y simbolizar los tipos de razonamientos categóricos (silogismos). Este trabajo sería completado más tarde por los estoicos, los megáricos, la Escolástica.
El algoritmo actual de cálculo aritmético como universal es fruto de un largo proceso histórico a partir de las aportaciones de Muhammad ibn al-Juarismi en el siglo IX.
Se introdujo el 0, ya de antiguo conocido en la India y se construye definitivamente el sistema decimal de diez cifras con valor posicional de las mismas, introducido en Europa por los árabes. La escritura antigua de números en Babilonia, en Egipto, en Grecia o en Roma, hacía muy difícil un procedimiento mecánico de cálculo.
El sistema decimal fue muy importante para el desarrollo de la contabilidad de los comerciantes de la Baja Edad Media, en los inicios del capitalismo.
El concepto de función por tablas ya era practicado de antiguo pero adquirió especial importancia en la Universidad de Oxford en el siglo XIV. La idea de un lenguaje o algoritmo capaz de determinar todas las verdades, incluidas las de la fe, aparecen en el intento de Raimundo Lulio en su Ars Magna
A fin de lograr una operatividad mecánica se confeccionaban unas tablas a partir de las cuales se podía generar un algoritmo prácticamente mecánico. Este sistema de tablas ha perdurado en algunas operaciones durante siglos, como las tablas de logaritmos, o las funciones trigonométricas; las tablas venían a ser como la calculadora de hoy día; un instrumento imprescindible de cálculo. Las amortizaciones de los créditos en los bancos, por ejemplo, se calculaban a partir de tablas elementales hasta que se produjo la aplicación de la informática en el tercer tercio del siglo XX.
A finales de la Edad Media la discusión entre los partidarios del ábaco y los partidarios del algoritmo se decantó claramente por estos últimos. De especial importancia es la creación del sistema contable por partida doble inventado por Luca Pacioli fundamental para el progreso del capitalismo en el Renacimiento.
Renacimiento
El sistema que usamos actualmente fue introducido por Luca Pacioli en 1494, y fue creado y desarrollado para responder a la necesidad de la contabilidad en los negocios de la burguesía renacentista.
El desarrollo del álgebra (con la introducción de un sistema de símbolos por un lado, y la resolución de problemas por medio de las ecuaciones) vino de la mano de los grandes matemáticos renacentistas como Tartaglia, Stévin, Cardano o Vieta y fue esencial para el planteamiento y solución de los más diversos problemas que surgieron en la época como consecuencia de los grandes descubrimientos que hicieron posible el progreso científico que surgirá en el siglo XVII.
Siglos XVII y XVIII
En el siglo XVII el cálculo conoció un enorme desarrollo siendo los autores más destacados Descartes, Pascal y, finalmente, Leibniz y Newton con el cálculo infinitesimal que en muchas ocasiones ha recibido simplemente, por absorción, el nombre de cálculo.
El
concepto de cálculo formal en el sentido de algoritmo reglado para el
desarrollo de un razonamiento y su aplicación al mundo de lo real adquiere
una importancia y desarrollo enorme respondiendo a una necesidad de establecer
relaciones matemáticas entre diversas medidas, esencial para el progreso de la
ciencia física que,
debido a esto, es tomada como nuevo modelo de Ciencia frente a la
especulación tradicional filosófica, por el rigor y seguridad que ofrece el
cálculo matemático. Cambia así el sentido tradicional de la Física como Ciencia
de la Naturaleza y toma el sentido de ciencia que estudia los cuerpos materiales,
en cuanto materiales.
A partir de entonces el propio sistema de cálculo permite establecer modelos sobre la realidad física, cuya comprobación experimental supone la confirmación de la teoría como sistema. Es el momento de la consolidación del llamado método científico cuyo mejor exponente es en aquel momento la Teoría de la Gravitación Universal y las leyes de la Mecánica de Newton.
Siglos XIX y XX
Durante el siglo XIX y XX el desarrollo científico y la creación de modelos teóricos fundados en sistemas de cálculo aplicables tanto en mecánica como en electromagnetismo y radioactividad, etc. así como en astronomía fue impresionante. Las geometrías no euclidianas encuentran aplicación en modelos teóricos de astronomía y física. El mundo deja de ser un conjunto de infinitas partículas que se mueven en un espacio-tiempo absoluto y se convierte en un espacio de configuración o de n dimensiones que físicamente se hacen consistentes en la teoría de la relatividad, la mecánica cuántica, la teoría de cuerdas etc. que cambia por completo la imagen del mundo físico.
La lógica asimismo sufrió una transformación radical. La formalización simbólica fue capaz de integrar las leyes lógicas en un cálculo matemático, hasta el punto que la distinción entre razonamiento lógico-formal y cálculo matemático viene a considerarse como meramente utilitaria.
En la segunda mitad del siglo XIX y primer tercio del XX, a partir del intento de formalización de todo el sistema matemático, Frege, y de matematización de la lógica, (Bolzano, Boole, Whitehead,Russell) fue posible la generalización del concepto como cálculo lógico. Se lograron métodos muy potentes de cálculo, sobre todo a partir de la posibilidad de tratar como “objeto” conjuntos de infinitos elementos, dando lugar a los números transfinitos de Cantor.
Mediante el cálculo la lógica encuentra nuevos desarrollos como lógicas modales y lógicas polivalentes.
Los intentos de axiomatizar el cálculo como cálculo perfecto por parte de Hilbert y Poincaré, llevaron, como consecuencia de diversas paradojas (Cantor, Russell etc.) a nuevos intentos de axiomatización, Axiomas de Zermelo-Fraenkel y a la demostración de Gödel de la imposibilidad de un sistema de cálculo perfecto: consistente, decidible y completo en 1931, de grandes implicaciones lógicas, matemáticas y científicas.
A partir de entonces el propio sistema de cálculo permite establecer modelos sobre la realidad física, cuya comprobación experimental supone la confirmación de la teoría como sistema. Es el momento de la consolidación del llamado método científico cuyo mejor exponente es en aquel momento la Teoría de la Gravitación Universal y las leyes de la Mecánica de Newton.
Siglos XIX y XX
Durante el siglo XIX y XX el desarrollo científico y la creación de modelos teóricos fundados en sistemas de cálculo aplicables tanto en mecánica como en electromagnetismo y radioactividad, etc. así como en astronomía fue impresionante. Las geometrías no euclidianas encuentran aplicación en modelos teóricos de astronomía y física. El mundo deja de ser un conjunto de infinitas partículas que se mueven en un espacio-tiempo absoluto y se convierte en un espacio de configuración o de n dimensiones que físicamente se hacen consistentes en la teoría de la relatividad, la mecánica cuántica, la teoría de cuerdas etc. que cambia por completo la imagen del mundo físico.
La lógica asimismo sufrió una transformación radical. La formalización simbólica fue capaz de integrar las leyes lógicas en un cálculo matemático, hasta el punto que la distinción entre razonamiento lógico-formal y cálculo matemático viene a considerarse como meramente utilitaria.
En la segunda mitad del siglo XIX y primer tercio del XX, a partir del intento de formalización de todo el sistema matemático, Frege, y de matematización de la lógica, (Bolzano, Boole, Whitehead,Russell) fue posible la generalización del concepto como cálculo lógico. Se lograron métodos muy potentes de cálculo, sobre todo a partir de la posibilidad de tratar como “objeto” conjuntos de infinitos elementos, dando lugar a los números transfinitos de Cantor.
Mediante el cálculo la lógica encuentra nuevos desarrollos como lógicas modales y lógicas polivalentes.
Los intentos de axiomatizar el cálculo como cálculo perfecto por parte de Hilbert y Poincaré, llevaron, como consecuencia de diversas paradojas (Cantor, Russell etc.) a nuevos intentos de axiomatización, Axiomas de Zermelo-Fraenkel y a la demostración de Gödel de la imposibilidad de un sistema de cálculo perfecto: consistente, decidible y completo en 1931, de grandes implicaciones lógicas, matemáticas y científicas.
Actualidad
En la actualidad, el cálculo en su sentido más general, en tanto que cálculo lógico interpretado matemáticamente como sistema binario, y físicamente hecho material mediante la lógica de circuitos eléctrónicos, ha adquirido una dimensión y desarrollo impresionante por la potencia de cálculo conseguida por los ordenadores, propiamente máquinas computadoras. La capacidad y velocidad de cálculo de estas máquinas hace lo que humanamente sería imposible: millones de operaciones por segundo.
El cálculo así utilizado se convierte en un instrumento fundamental de la investigación científica por las posibilidades que ofrece para la modelización de las teorías científicas, adquiriendo especial relevancia en ello el cálculo numérico.
La importancia del cálculo
El cálculo tiene una importancia fundamental en la vida de los seres pensantes, tanto como la misma subsistencia.
El hombre, desde sus origenes se valio del cálculo, desde que estimaba que tan alto debia lanzar una piedra para que caiga sobre una preza.
Hoy dia es dificil que te encuentres en un lugar donde no haya nada calculado, desde las medidas de tu ropa, la hora, los edificios, el tendido electrico, el espezor de la hoja de un diario....
Es evidente que algunas personas nacen con mayores aptitudes para el calculo. Sin embargo, este se puede desarrollar con la practica.
COMO
CONTRIBUYE EL CÁLCULO EN NUESTRA VIDA COTIDIANA
Contribuye
en la evolución de articulos electronicos como las lavadoras, antes se lavaba a
mano o lavadoras con una tina grande, ahora las lavadoras son mas chicas y
tienen mas capacidad de lavado.
Otro
ejemplo son como la computadora que antes eran grandes y no cualquier
persona lo usaban y ahora son mas pequeñas y esta al alcance de todos.
Ahora
que el calculo ha evolucionado las personas construye edificios de diferentes
formas y tamaño.
ORIGEN DE LA GEOMETRÍA
La
geometría como palabra tiene dos raíces griegas: geo = tierra y metrón =
medida; o sea, significa "medida de la tierra". Su origen, unos tres
mil años antes de Cristo, se remonta al Medio Oriente, en particular al Antiguo
Egipto, en que se necesitaba medir predios agrarios y en la construcción de pirámides
y monumentos. Esta concepción geométrica se aceptaba sin demostración, era producto
de la práctica.
Estos
conocimientos pasaron a los griegos y fue Thales de Mileto quien hace unos 6
siglos antes de Cristo inició la geometría demostrativa. Las propiedades se
demuestran por medio de razonamientos y no porque resulten en la práctica.
Las
demostraciones pasan a ser fundamentales y son la base de la Lógica como leyes
del razonamiento.
Euclides
fué otro gran matemático griego, del siglo III antes de Cristo, quien en su
famosa obra titulada "Los Elementos", recopila, ordena y sistematiza todos
los conocimientos de geometría hasta su época y, salvo algunas pequeñas
variaciones, son los mismos conocimientos que se siguen enseñando en nuestros
días.
Euclides,
usando un razonamiento deductivo parte de conceptos básicos primarios no
demostrables tales como punto, recta, plano y espacio, que son el punto de
partida de sus definiciones, axiomas y postulados. Demuestra teoremas y a su
vez, éstos servirán para demostrar otros teoremas. Crea nuevos conocimientos a
partir de otros ya existentes por medio de cadenas deductivas de razonamiento lógico.
Esta geometría, llamada geometría euclidiana se basa en lo que históricamente
se conoce como 5º postulado de Euclides: "por un punto situado fuera de
una recta se puede trazar una y sólo una paralela a ella".
Existen
otras geometrías que no aceptan dicho postulado euclidiano, sino que aceptan
otros principios que dan origen a las llamadas "geometrías no
euclidianas", como la creada en el siglo XIX por el ruso Lobatschevsky.
Como
se mencionó, los conceptos básicos primarios punto, recta, plano y espacio no
se definen sino que se captan a través de los sentidos. Puede darse modelos
físicos para cada uno de ellos. Por ejemplo un punto puede estar representado
por la huella que deja sobre un papel la presión de la punta de un alfiler o
por una estrella en el firmamento. Una recta está sugerida por un hilo a plomo,
un plano está sugerido por la superficie de un lago quieto o bien por la superficie
de un espejo. El espacio euclidiano puede considerarse constituido por todos
los puntos existentes, o sea, el espacio en que nos movemos.La geometría
euclidiana puede dividirse en geometría plana y en geometría del espacio o estereometría.
La plana estudia las figuras contenidas en un plano. La del espacio estudia figuras
que no están contenidas en un mismo plano.
ISAAC NEWTON
En
1664, descubrió los elementos del cálculo diferencial, que llamaba fluxiones.
Años más tarde, cuando se publicaron sus hallazgos, hubo cierta duda acerca de
si el matemático alemán Leibniz era considerado el creador del cálculo
diferencial. Al parecer ambos, independiente y casi simultáneamente, hicieron
este notable descubrimiento.
Generalizó los métodos que se habían utilizado para trazar líneas tangentes a curvas y para calcular el área encerrada bajo una curva, y descubrió que los dos procedimientos eran operaciones inversas. Uniéndolos en lo que él llamó el método de las fluxiones, Newton desarrolló en el otoño de 1666 lo que se conoce hoy como cálculo, un método nuevo y poderoso que situó a las matemáticas modernas por encima del nivel de la geometría griega.
En 1711, publicó diversos libros relacionados al Cálculo como analysi per aequationes numero terminorum infinitas. También, esta relación entre series y cálculo se manifiesta en Methodus fluxionum et serierum infinitorum (escrito en 1671), y publicado en inglés en 1736 y en latín en 1742.
El único libro en que Newton mostró su cálculo y publicó rápidamente fue Philosophiae naturalis principia matemática (1687).
Generalizó los métodos que se habían utilizado para trazar líneas tangentes a curvas y para calcular el área encerrada bajo una curva, y descubrió que los dos procedimientos eran operaciones inversas. Uniéndolos en lo que él llamó el método de las fluxiones, Newton desarrolló en el otoño de 1666 lo que se conoce hoy como cálculo, un método nuevo y poderoso que situó a las matemáticas modernas por encima del nivel de la geometría griega.
En 1711, publicó diversos libros relacionados al Cálculo como analysi per aequationes numero terminorum infinitas. También, esta relación entre series y cálculo se manifiesta en Methodus fluxionum et serierum infinitorum (escrito en 1671), y publicado en inglés en 1736 y en latín en 1742.
El único libro en que Newton mostró su cálculo y publicó rápidamente fue Philosophiae naturalis principia matemática (1687).
GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ
Leibniz deseaba visitar París para hacer más contactos
científicos. Había comenzado a construir una máquina de calcular que además de
sumar y restar, era capaz de dividir y multiplicar. Pensaba podía ser de
interés.
Comenzó a estudiar la geometría de los infinitesimales y
envió sus descubrimientos a Oldenburg en la Royal Society en 1674. Éste Le
contestó que Newton y Gregory habían encontrado métodos generales. Leibntz
estaba en falta con la Royal Society porque no había cumplido el compromiso de
terminar su máquina de calcular.
En la etapa en París cuando empieza a trabajar sobre el
desarrollo de su versión del Cálculo. En 1673 todavía estaba tratando de
encontrar una buena flotación ya que sus primeros cálculos eran desprolijos. El
21 de noviembre de 1675 escribió un manuscrito usando por primera vez la
anotación f(x).dx con el signo integral
y da la regla de la diferenciación de un producto. En el otoño de 1676
descubre el diferencial de la potencia: d(xn) = nx-1dx , para n entero y
fraccionario.
de los grandes descubrimientos en Matemática fue su
desarrollo del sistema binario. Perfeccionó este sistema en 1679, pero recién
lo publicó en 1701 cuando envió el trabajo, Essay dune nouvefle science des
nombres a la Academia de Paris con motivo de su elección como miembro.
Otros de los aportes de Leibniz fue su trabajo sobre
determinantes, que permitió avanzar sobre la resolución de sistemas de
ecuaciones lineales. Aunque nunca publicó este trabajo, desarrolló muchas
aproximaciones al tema con diferentes notaciones tratando de encontrar La más
útil. Un trabajo no publicado del 22 de enero de 1684 contiene una notación y
resultados muy satisfactorios.
En 1684 publica detalles de su Cálculo diferencial en Nova
Methodus pro Maximis et Minimis, item que Tangentibus (Nuevos Métodos
para Máximos y Mínimos y para las Tangentes) en Acta Eruditorum,
una revista de Leipzig que se habla fundado dos años antes. En este articulo
aparece la conocida flotación d para las derivadas, las reglas de las derivadas
de las potencias, productos y cocientes. Pero no habla demostraciones.
En 1686 publica en la misma revista un trabajo sobre Cálculo
integral donde aparece impreso por primera vez el símbolo. En esta obra muestra
también como con el signo integral pueden expresarse mediante expresiones
algebraicas curvas que no lo son, como la cicloide. EL vocablo trascendente,
para las ecuaciones en Las que la incógnita figura en el exponente, también se
debe a Leibniz
La mayor
aportación fue la aportación del nombre de cálculo diferencial e integral; así
como la invención de símbolos matemáticos para la mejor explicación del
cálculo; como el signo = así como su notación para las derivadas dx/dy & su
notación para las integrales. 
PIERRE DE FERMAT
Descubrió el cálculo diferencial
antes que Newton y Leibniz, fue cofundador de la teoría de probabilidades junto
a Blaise Pascal e independientemente de Descartes, descubrió el principio
fundamental de la geometría analítica. Sin embargo, es más conocido por sus
aportaciones a la teoría de números en especial por el conocido como último
teorema de Fermat, que preocupó a los matemáticos durante aproximadamente 350
años, hasta que fue demostrado en 1995 por Andrew Wiles ayudado por Richard
Taylor.
Fermat es uno de los pocos matemáticos que
cuentan con un asteroide con su nombre, (12007) Fermat. El teorema sobre la suma de dos cuadrados afirma
que todo número primo p, tal que p-1 es divisible entre 4, se puede escribir
como suma de dos cuadrados. Fermat anunció su teorema en una carta a Marin
Mersenne fechada el 25 de diciembre de 1640, razón por la cual se le conoce
también como Teorema de navidad de Fermat El pequeño teorema de Fermat, referente a la
divisibilidad de números, afirma que, si se eleva un número a a la pésima
potencia y al resultado se le resta a, lo que queda es divisible por p, siendo
p un número primo. Su interés principal está en su aplicación al problema de la
primalidad y en criptografía. Pequeño teorema de Fermat, se convirtió en uno
de los teoremas más importantes en Matemáticas. No se sabe si Fermat halló
realmente la demostración, ya que no dejó rastro de ella para que otros
matemáticos pudiesen verificarla. Este problema mantuvo en vilo a los
matemáticos durante más de tres siglos (se dice que, frustrado, Euler incluso
pidió a un amigo que registrara de arriba a abajo la casa de Fermat en busca de
la demostración), hasta que en 1995 Andrew Wiles ayudado por Richard Lawrence
Taylor pudo demostrar el teorema. Wiles utilizó para ello herramientas
matemáticas que surgieron mucho después de la muerte de Fermat, de forma que
éste debió de encontrar la solución por otro camino.
LEONHARD EULER
En
1741 fue profesor de matemáticas en la Academia de Ciencias de Berlín a
petición del rey de Prusia, Federico el Grande.
En
su Introducción al análisis de los infinitos (1748), realizó el primer
tratamiento analítico completo del álgebra, la teoría de ecuaciones, la
trigonometría y la geometría analítica. Trató el desarrollo de series de
funciones y formuló la regla por la que sólo las series convergentes infinitas
pueden ser evaluadas adecuadamente. También abordó las superficies
tridimensionales y demostró que las secciones cónicas se representan mediante
la ecuación general de segundo grado en dos dimensiones.
Euler
introdujo y popularizó la notación en los escritos matemáticos en sus numerosos
y muy utilizados libros de texto. Posiblemente lo más notable fue la
introducción del concepto de función matemática, siendo el primero en escribir
f(x) para hacer referencia a la función f aplicada sobre el argumento x.
También
introdujo la notación moderna de las funciones trigonométricas, la letra e como
base del logaritmo natural o neperiano (el número es conocido también como el número de Euler),
la letra griega Σ como símbolo de los sumatorios y la letra a la unidad imaginaria. El uso de la letra
griega π para hacer referencia al cociente entre la longitud de la
circunferencia y la longitud de su diámetro también fue popularizado por Euler,
aunque él no fue el primero en usar ese símbolo.
El
desarrollo del cálculo era una de las cuestiones principales de la
investigación matemática del siglo XVIII, el estudio del cálculo se convirtió en uno de
los principales objetos del trabajo de Euler. Si bien algunas de sus
demostraciones matemáticas no son aceptables bajo los estándares modernos de
rigor matemático, es cierto que sus ideas supusieron grandes avances en ese
campo.
Definió
la función φ de Euler que, para todo número entero positivo, cuantifica el
número de enteros positivos menores o iguales a n y coprimos con n. Más tarde,
utilizando las propiedades de esta función, generalizó el pequeño teorema de
Fermat a lo que se conoce como el teorema de Euler.
Contribuyó
de manera significativa al entendimiento de los números perfectos, tema que
fascinó a los matemáticos desde los tiempos de Euclides, y avanzó en la
investigación de lo que más tarde se concretaría en el teorema de los números
primos.
Euler
elaboró la teoría de las funciones trascendentes (aquellas que no se basan en
operaciones algebraicas) mediante la introducción de la función gamma, e
introdujo un nuevo método para resolver ecuaciones de cuarto grado. También
descubrió una forma para calcular integrales con límites complejos, en lo que
sería en adelante el moderno análisis complejo, e inventó el cálculo de
variaciones incluyendo dentro de su estudio a las que serían llamadas las
Ecuaciones de Euler Lagrange.
Euler
unió dos ramas separadas de las matemáticas para crear un nuevo campo de
estudio, la teoría analítica de números. Para ello, Euler creó la teoría de las
series hipergeométricas, las series , las funciones hiperbólicas
trigonométricas y la teoría analítica de fracciones continuas. Por ejemplo,
demostró que la cantidad de números primos es infinita utilizando la
divergencia de series armónicas, y utilizó métodos analíticos para conseguir
una mayor información sobre cómo los números primos se distribuyen dentro de la
sucesión de números naturales.
Entre
sus obras más destacadas se encuentran Instituciones del cálculo diferencial
(1755), Instituciones del cálculo integral (1768-1770) e Introducción al
álgebra (1770).
JOHANN BERNOULLI
Tres
años después de publicado el trabajo pionero de Leibniz sobre el Nuevo Cálculo
ya los hermanos Bernoulli lo conocían y habían logrado asimilar los fundamentos
del mismo; después de dos años de intenso estudio Johann logro igualarse a su
hermano en cuanto a conocimientos matemáticos. Johann no se basaba solo en la
matemática, sino también en la física, la química y la astronomía.
En
el año 1694 se centró en la función y =
xx.
Investigó
series utilizando el método de integración por partes donde decía que la
integración simplemente como la operación inversa a la diferenciación, un
enfoque con el que lograría grandes aciertos en la integración de ecuaciones
diferenciales.
Sumó
series y descubrió los teoremas de suma de funciones trigonométricas e
hiperbólicas utilizando las ecuaciones diferenciales que satisfacían.
Estos
aportes le abrieron a Johann varias
oportunidades de trabajo y en el año
1695 Johann aceptó el puesto en Groningen, fue designado para la cátedra de
matemáticas,
Se
centró en el cálculo infinitesimal y resolvió la ecuación diferencial de
Bernoulli, propuesta por su hermano.
JAKOB BERNOULLI
Entre
sus grandes aportes a la matemática se cuenta aquel que tiene que ver con el
cálculo infinitesimal, ya que el trabajo de su colega Gottfried Wilhelm Leibniz
consiguió trasladarlo a nuevos y complejos problemas.
Escribió
sobre series infinitas, estudió muchas curvas especiales, inventó las coordenadas
polares y presentó los números de Bernoulli que aparecen en la expansión en
serie de potencias de la función tan(x) y que son útiles para escribir el
desarrollo en series infinitas de las funciones trigonométricas e hiperbólicas.
En
su libro Ars Conjectandi, publicado en 1713 y que se considera como el primer
volumen substancial en la teoría de probabilidad, formuló el principio básico
de teoría de probabilidad que se conoce como Teorema de Bernoulli o Ley de los
grandes números: si la probabilidad de algún evento dado es p y si se han hecho
n intentos independientes con k éxitos, entonces k / n→ p conforme n → ∞.
Este
teorema fue el primer intento para deducir medidas estadísticas a partir de probabilidades
individuales y Bernoulli tardó veinte años en perfeccionarlo. Para poder dar una
idea de la importancia del resultado de Bernoulli y los problemas que lo
rodean, habría que extenderse y exponer varios puntos.
JEAN D' ALEMBERT
Fue uno de los primeros en comprender la importancia de las
funciones y en este artículo definió la derivada de una función como el límite
de los cuocientes de los incrementos.
D’Alembert fue el que más se acercó a una definición precisa
de límite y de derivada. Más en realidad toda duda se desvanecía ante el éxito
de sus aplicaciones, de manera que el cálculo infinitesimal, más que una rama
de la matemática, se convertía en una especie de doncella de la ciencia
natural, en un auxiliar muy valioso, pero auxiliar al fin de las varias ramas
de la física.
Su obra maestra fue el tratado de dinámica, donde enunció el
teorema que lleva su nombre (principio de D'Alembert). El Teorema Fundamental
del Álgebra recibe en algunos países el nombre de teorema de D'Alembert - Gauss dado que Alembert fue el primero en dar una prueba casi
completa sobre dicho teorema.
AUGUSTIN CAUCHY
Dio al cálculo diferencial la forma que tiene hoy. Fue pionero en el análisis y la teoría de permutación de grupos. También investigó la convergencia y la divergencia de las series infinitas, ecuaciones diferenciales, determinantes, probabilidad y física matemática.
Publicó con regularidad durante los 45 años de su vida científica sobre aritmética, física, álgebra, análisis, estadística, geometría, mecánica, etc
RIEMANN
En 1814
publicó la memoria de la integral definida que llegó a ser la base de la teoría de las funciones complejas.
Dio al cálculo diferencial la forma que tiene hoy. Fue pionero en el análisis y la teoría de permutación de grupos. También investigó la convergencia y la divergencia de las series infinitas, ecuaciones diferenciales, determinantes, probabilidad y física matemática.
Publicó con regularidad durante los 45 años de su vida científica sobre aritmética, física, álgebra, análisis, estadística, geometría, mecánica, etc.
Dio al cálculo diferencial la forma que tiene hoy. Fue pionero en el análisis y la teoría de permutación de grupos. También investigó la convergencia y la divergencia de las series infinitas, ecuaciones diferenciales, determinantes, probabilidad y física matemática.
Publicó con regularidad durante los 45 años de su vida científica sobre aritmética, física, álgebra, análisis, estadística, geometría, mecánica, etc.
En la capital alemana abordó el
uso de la variable compleja en la teoría de las funciones elípticas y formuló
su teoría general de variable compleja (véase Función matemática), que sería la
base de algunos de sus más importantes trabajos.
En
1854 ofreció su disertación inaugural Acerca
de las hipótesis que subyacen de la Geometría, que se convirtió en un clásico
de la geometría. La influencia de esta obra en el desarrollo de las matemáticas
y de la física fue enorme
Riemann
trabajó en casi todos los campos de las matemáticas: fue un verdadero
revolucionario de la geometría diferencial y del espacio n-dimensional, sobre
todo en el caso particular de las tres dimensiones.
En el cálculo integral, se le debe a Riemann el concepto de
integral definida a partir de un punto intermedio o integral de Riemann (para
más información véase Integral de una función).
En teoría de números estudió los números primos, lo que le llevó a
definir la que hoy se denomina "función zeta de Riemann":
f(s) = 1 + 1/2s
+ 1/3s + 1/4s + ........, s = u + iv
Riemann conjeturó que f(s) = 0 si y sólo si u = 1/2 para 0 < u
< 1. Nadie ha conseguido demostrar esta hipótesis, convertida en uno de los
problemas más estudiados en la teoría de números y el análisis.
Luis Diaz Laines
Lizeth Hernandez Sedano
Martha Herrera Espiritu
